Question

已知各项均为非负实数的数列{a_n}，{b_n}满足：对任意正整数n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求证：数列{}是等差数列；
（II） 设，当n≥2，n∈N时，试比较与T_n的大小．

Answer

（I）由已知，得2bn=an+an+1，，故，所以2bn=，由此能够证明{}是等差数列．
（II）由a1=0，b1=1，得a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，由{}是等差数列，得，由此入手能够证明＜Tn．
【解析】
（I）∵an，bn，an+1成等差数列，
∴2bn=an+an+1，①
∵bn，an+1，bn+1成等比数列，
∴，②
由②得，③
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N*，
有2bn=，
即2=+，
∴{}是等差数列．
（II）∵a1=0，b1=1，
∴a2=2，b2=4，a3=6，b3=9，
又{}是等差数列，
故，
当n≥2时，an=n（n-1），
又a1=0，∴an=n（n-1），
∴，（n≥2），
当n=2时，，
当n=3时，，
当n≥4时，=＞，
而，
综上，＜Tn．