Question

数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为Sn，对任意的n∈N^*，点（n，S_n），（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足=2ⁿ．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=（1-）-，R_n=+++…+，求对∀n∈N^*，m＞R_n都成立的最小正整数m．

Answer

（1）由点（1，1），（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，可求a，b，进而可求Sn，利用递推公式bn=Sn-Sn-1可求bn，结合，可求an
（2）由cn=（1-）-=可得，可考虑利用错位相减法求解数列的和Rn，然后由Rn的范围可求m的范围
（1）证明：∵b1=1，
∴S1=1
∴点（1，1），（4，10）都在二次函数y=ax2+bx的图象上，
∴，解得：         …（1分）
∴                                     …（2分）
则n≥2时，
∴bn=Sn-Sn-1=-[]=n
又b1=1也适合，所以bn=n，
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列                       …（6分）
又，
∴                                    …（7分）
（2）∵cn=（1-）-=
∴ …（8分）
∴Rn=+++…+=①
∴=②
两式相减，得：=，
∴…（12分）
∵
∴Rn＜3
∴m=3                  …（14分）