Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上均值为C．下列五个函数：①y=4sinx；②y=x³；③y=lgx；④y=2^x；⑤y=2x-1．则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是    ．

Answer

首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使 成立的函数．
对于函数①y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数②y=x3，可直接取任意的x1∈R，验证求出唯一的，即可得到成立．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
对于函数④y=2x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
对于函数⑤y=2x-1，可直接取任意的x1∈R，验证求出唯一的x2∈R，即可得到成立．
【解析】
对于函数①y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使 成立．故不满足条件；
对于函数②y=x3，取任意的x1∈R，=2，，可以得到唯一的x2∈D．故满足条件；
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使 成立．故成立；
对于函数④y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使 成立，则f（x2）=-4，不成立；
对于函数⑤y=2x-1定义域为任意实数，取任意的x1∈R，==x1+x2-1=2，
解得x2=3-x1，可以得到唯一的x2∈R．故成立，
故答案为：②③⑤