Question

设函数f（x）=是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）由f（x）=是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，可求得c=0，f（1）=2，f（2）＜3，（a，b，c都是整数）可求得a=b=1；
（2）设x1＜x2≤-1，可得f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（1-）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减；
（3）由f（x）=x+为奇函数，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，可得f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，从而可求得当x＞0时，求函数f（x）的最小值．
【解析】
（1）由f（x）=是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则=-，
∴-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
即c=0；（或由定义域关于原点对称得c=0）
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴由①得a=2b-1代入②得＜0，
∴0＜b＜，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）==x+，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．下用定义证明之．
设x1＜x2≤-1，则f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=x1-x2-=（x1-x2）（1-），
因为x1＜x2≤-1，x1-x2＜0，1-＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
（3）∵f（x）=x+为奇函数，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，求函数f（x）的最小值为f（1）=1+1=2．