Question

如图，在正方体AC₁中，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH的延长线经过点C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

Answer

因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以H是正三角形-A1BD的中心，故A正确；根据正三棱锥A-A1BD和正三棱锥C1-A1BD的高线都经过H点，结合垂线的唯一性可得B正确；根据平面A1BD∥平面CB1D1，结合面面平行的性质，得到C正确；通过计算可得直线AH和BB1所成角为arcsin，故D不正确．
【解析】
对于A，因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以点H是也是△A1BD的垂心，故A正确；
对于B，因为三棱锥C1-A1BD是正三棱锥，而H是底面的中心，故C1H是正三棱锥C1-A1BD的高线，因为经过点H与平面A1BD垂直的直线有且只有一条，故A、H、C1三点共线，即AH的延长线经过点C1，故B正确；
对于C，因为平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以根据面面平行的性质，可得AH垂直平面CB1D1，故C正确；
对于D，可在正三棱锥A-A1BD中，算出sin∠A1AH=，结合AA1∥BB1，可得直线AH和BB1所成角为arcsin，故D不正确．
故选D