Question

在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

Answer

解法1
（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；
（2）先证明∠GMH是二面角G-DE-F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；
解法2
（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；
（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
解法1
（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．…（2分）
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG⊂平面BCFE，
∴DH⊥EG．…（4分）
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，
∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG，…（6分）
又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．…（7分）
∵BD⊂平面BHD，
∴BD⊥EG．…（8分）
（2）【解析】
∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE
由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD
∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…（9分）
取DE的中点M，连接MH，MG
∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE
∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG
∴∠GMH是二面角G-DE-F的平面角，…（12分）
在△GMH中，，∴…（13分）
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）
解法2
（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，
又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（2分）
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…（4分）
∴，，…（6分）
∴，…（7分）
∴BD⊥EG．…（8分）
（2）【解析】
由已知得是平面DEF的法向量．…（9分）
设平面DEG的法向量为，
∵，
∴，即，令x=1，得．…（12分）
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，
则…（13分）
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）