Question

已知点P是圆上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P，Q两点，若（O为坐标原点），试求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer

（1）由题意判断点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，进而可求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，，即可求得直线l在y轴上截距的取值范围．
【解析】
（1）由题意得，F1（-1，0），F2（1，0），圆F1的半径为，且|MF2|=|MP|…（1分）
从而…
（3分）
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴，得到，焦距2c=2，∴短半轴b=1
∴椭圆方程为：…
（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+n，由，消元可得（2k2+1）x2+4knx+2n2-2=0
则△=16k2n2-8（n2-1）（2k2+1）＞0，即2k2-n2+1＞0①…（8分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
由可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=0…（10分）
整理可得…
（12分）
即
化简可得3n2=2k2+2，代入①整理可得，
故直线l在y轴上截距的取值范围是．    …（14分）