Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer

（1）由题意及图形所给的线段大小之间的关系，利用线线平行进而得到线面平行；
（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出二面角的大小．
【解析】
（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，
∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B．
∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD．
（II）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）．
∴．
设为平面A1BD的一个法向量，
由得
取z=1，则
设为平面C1BD的一个法向量，
由得，
取z1=1，则
∵.．
由于该二面角A1-BD-C1为锐角，
所以所求的二面角A1-BD-C1的余弦值为．