Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各侧棱都垂直于底面，AC=AA₁=4，AB=5，BC=3．
（1）证明：BC⊥AC₁；
（2）求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer

（1）由AC=4，AB=5，BC=3，知AC⊥BC，由三棱柱ABC-A1B1C1的各棱都垂直于底面，知平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥平面A1ACC1，由此能证明BC⊥AC1．
（2）由AA1=AC=4，知四边形A1ACC1是正方形，故A1C⊥AC1，AC1⊥平面A1BC，所以∠ABM为AB与平面A1BC所成的角，由此能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．
【解析】
（1）∵AC=4，AB=5，BC=3，
则AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A1B1C1的各棱都垂直于底面，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥平面A1ACC1，
∵A1C⊂平面A1ACC1，
∴BC⊥AC1．
（2）∵AA1=AC=4，
∴四边形A1ACC1是正方形，
∴A1C⊥AC1，
∵BC⊥AC1，BC∩A1C=C，
∴AC1⊥平面A1BC，
设AC1与A1C交于点M，连接BM，
则∠ABM为AB与平面A1BC所成的角，
在Rt△ABM中，AM=2，AB=5，sin∠ABM=，
∴直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．