Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，E是侧棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁⊥EC；
（Ⅱ）求二面角A-EC-B的大小．

Answer

法一：
（Ⅰ）设O是AC的中点，连接OB、OC1．在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC1A1，OC1是BC1在面ACC1A1上的射影．△AEC≌△COC1，由此能够证明BC1⊥EC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，作OF⊥EC，垂足为F，连接BF，则∠OFB为二面角A-EC-B的平面角．由此能求出二面角A-EC-B的大小．
法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，利用向量法能够证明BC1⊥EC．
（Ⅱ）求出平面AEC的一个法向量为．求出平面ECD的法向量．利用向量法能坟出二面角A-EC-B的大小．
解法一：
（Ⅰ）证明：设O是AC的中点，连接OB、OC1．
在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC1A1，
∴OC1是BC1在面ACC1A1上的射影．
∴△AEC≌△COC1，∠AEC=∠COC1．
又∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠COC1+∠ACE=90°，OC1⊥EC，
∴BC1⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，
作OF⊥EC，垂足为F，连接BF，
则∠OFB为二面角A-EC-B的平面角．
不妨设AB=2，则，，
在Rt△BOF中，，
∴．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）证明：在正三棱柱中，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图．
设AB=2，则
，，，，
∴，，
∵．
∴BC1⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
在空间直角坐标系O-xyz中，
平面AEC的一个法向量为．
设平面ECD的法向量为，
易知，．
由，得，
取x=1，得．
，
∴二面角A-EC-B的大小为．…（12分）