Question

已知函数．
（1）当时，求f（x）在区间上的最值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（1）求导函数，确定函数在区间上的单调性，即可求最值；
（2）求导函数，对m分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性．
【解析】
（1）当时，
∴
∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函数的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）
∵x∈
∴函数的递增区间为[，1），递减区间为（1，e]
∴f（x）在区间上的最大值为f（1）=-，最小值为f（e）=；
（2）∵函数，
∴（x＞0）
当m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜m＜0时，，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞；
∴函数在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调减；
当m≤-1时，f′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减．