Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取PA的中点E，连接ME，DE，证明四边形DCME为平行四边形，可得MC∥DE，利用线面平行的判定，可得MC∥平面PAD；
（Ⅱ）证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）取PC中点N，则可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，从而可求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．
（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM∥AB，且EM=AB．
又∵AB∥DC，且DC=AB，
∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又MC⊄平面PAD，DE⊂平面PAD
所以MC∥平面PAD 
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AC2+BC2=2+2=AB2，∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）【解析】
取PC中点N，则MN∥BC
由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC
所以∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=PC=，MC=PB=，
∴cos∠MCN==．