Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=（n∈N^*），求证C_n+1＜C_n．

Answer

（1）①利用，及等比数列的通项公式即可得出an；②利用等差数列的通项公式即可得出bn；
（2）由即可得到cn+1＜cn；利用二项式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可证明．
【解析】
（1）①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，得an+1-an=2an，即an+1=3an．
由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．
∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴．
②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．
∴bn=-3+（n-1）×3=3n-6．
（2）由（1）可得=．
∴=cn．
∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，
∴．