Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=-，
（ i） 求•的最值．
（ ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer

（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，
联立即可得到a2、b2、c2；
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由kAC•kBD=-=-，可得．
把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；
（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．
【解析】
（1）由题意可得，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．
设kAC=k，∵kAC•kBD=-=-，∴．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．
联立，．
解得，．
∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．
ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴=4=4=4
=4==168，为定值．