Question

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过作，垂足为，连结，根据侧面底面，得底面．应用三垂线定理，得．（Ⅱ）立体几何中的角的计算，一般有两种思路，一是直接法，通过“一作，二证，三计算”等步骤，计算角；二是“间接法”，如利用图形与其投影的面积关系，确定角.本题首先设到平面的距离为，根据，求得．进一步确定，将角用反正弦函数表示.

试题解析：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得

，

解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的角为

考点：垂直关系、平行关系，角的计算.