Question

已知抛物线，点P（-1，0）是其准线与轴的焦点，过P的直线与抛物线C交于A、B两点.

（1）当线段AB的中点在直线上时，求直线的方程；

（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积.

Answer

（1）.   （2）.

【解析】

试题分析：（1）首先确定抛物线方程为，将直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得应用中点坐标公式AB中点的横坐标为，进一步求得直线的斜率，从而可得直线方程.应注意直线斜率的存在性.

（2）根据中点坐标公式确定得到，再利用A、B为抛物线上点，得得到方程组求得

，，计算得到△FAB的面积    .注意结合图形分析，通过确定点的坐标，得到三角形的高线长.

试题解析：（1）因为抛物线的准线为，所以，

抛物线方程为                     2分

设，直线的方程为，（依题意存在，且≠0）与抛物线方程联立，消去得    （*）

，    4分

所以AB中点的横坐标为，即，所以       6分

（此时（*）式判别式大于零）

所以直线的方程为     7分

（2）因为A为线段PB中点，所以             8分

由A、B为抛物线上点，得，                10分

解得，                     11分

当时，；当时，           12分

所以△FAB的面积      14分

考点：抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系.