Question

已知无穷数列中，、 、、构成首项为2，公差为－2的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，.

（1）当，，时，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立．

①当时，求的值；

②记数列的前项和为．判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）数列的通项公式为；

（2）①的值为或；②详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据数列的定义求出当时数列的通项公式，注意根据的取值利用分段数列的形式表示数列的通项；（2）①先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出的值；②在（1）的基础上，先将数列的前项和求出，然后利用周期性即可求出，构造，利用定义法求出的最大值，从而确定和的最大值，进而可以确定是否存在，使得.

试题解析：（1）当时，由题意得，                  2分

当时，由题意得，                    4分

故数列的通项公式为                5分

（2）①因为无解，所以必不在等差数列内，

因为，所以必在等比数列内，且等比数列部分至少有项，

则数列的一个周期至少有项，                           7分

所以第项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，

若时，则，得，

若，则，得，

故的值为或                                 9分

②因为，，

所以，               12分

记，则，

因为，所以，即，           14分

故时，取最大，最大值为，

从而的最大值为，不可能有成立，故不存在满足条件的实数     16分

考点：等差数列和等比数列的通项公式及前项和、数列的周期性、数列的单调性