Question

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）写出数列{a_n}中与987相邻的后一项（不需要过程）

Answer

（I）根据递推关系式an+2=直接进行求解即可求出a4，a5的值；
（II）假设存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列，然后根据新数列的前三项求出λ，然后验证是否正确即可；
（III）根据前几项总结规律an+2=an+1+an（n≥2），从而写出数列{an}中与987相邻的后一项即可．
【解析】
（I）a4===5
a5===8
（II）假设存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列，则
2（a3-λa2）=（a2-λa1）+（a4-λa3），解得λ=1
由a3=3，a4=5，a5=8，a6=13得2（a5-a4）≠（a4-a3）-（a3-a2）与数列{an+1-an}（n∈N*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列
（III）a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，猜想an+2=an+1+an（n≥2）
∴数列{an}中与987相邻的后一项为1597．