Question

已知的定义域为R，函数的定义域为[0，2]．
（1）设a≠0，求f（x）的单调区间；
（2）求g（x）的值域；
（3）设a＞0，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数，再根据导函数值的正负来求单调区间即可；
（2）先求出x=0时，g（x）=0；再结合基本不得呢公式求出其他部分的值域，最后综合即可．
（3）先把问题转化为[0，]⊆A，即转化为求函数f（x）的值域，求出其导函数，结合其单调区间求出最值，即可得到结论．
【解析】
（1）∵f'（x）=ax2-a2，
当a＞0时，增区间为（-∞，-）和（，+∞），减区间为（-，）；
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在实数集上单调递减．
（2）g（x）=，x∈[0，2]，x=0时，g（x）=0．
0＜x≤2时，g（x）=•≤•=•=，且g（x）＞0，
当且仅当x=1时上式取等号，即0＜g（x）≤．
综上，g（x）的值域为[0，]．
（3）设函数f（x）在[0，2]上的值域是A，
若对任意x1∈[0，2]，总存在x∈[0，2]使g（x1）-f（x）=0，
∴[0，]⊆A
当a＞0由f'（x）=ax2-a2=a（x-）（x+）
令f'（x）=0得x=或x=-（舍去）．
0＜＜2时，x，f'（x），f（x）的变化如表，

∴f（0）=0，f（）＜0，
∴f（2）=a-2a2≥解得≤a≤1．
当≥2时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2）上单调递减．
∴f（0）=0，f（2）=a-2a2＜0，
∴当x∈[0，2]时，不满足[0，]⊆A．
综上可知，实数a的取值范围是[，1]．