Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD=AB=2BC=2a．
（1）在棱PA上是否存在点E，使PC∥面EBD，若存在，求出E点位置，并证明．
（2）当PA=3a时，求二面角B-PC-A大小的余弦值．

Answer

（1）利用平行线分线段成比例定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）通过结论空间直角坐标系，利用两个平面的法向量所成的夹角即可求出二面角的余弦值．
【解析】
（1）在棱PA上存在点E，使PC∥面EBD，其中AE=2EP．证明如下：
设AC∩BD=O，连接EO．
∵BC∥AD，∴=2，
∵，∴EO∥PC．
∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD．
∴PC∥平面EBD．
（2）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，a，0），P（0，0，3a）．
∴=（（0，a，0），=（（2a，a，-3a），=（0，0，3a）．
设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），
则，即，则y1=0，令x1=3，
得z1=2，∴．
设平面PAC的法向量为，
则，即，则z3=0，令x2=1，得y2=-2，∴．
则===．
∴二面角B-PC-A大小的余弦值为．