Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为，若函数g（x）=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．

Answer

（I）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间）；
（II）对函数进行求导，令导函数等于0在区间（1，3）上有解，然后建立关系式，解之即可．
【解析】
（Ⅰ） （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，]，减区间为[，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[，+∞），减区间为（0，]；
（II）
∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=
=+（m+2）x2-x
g'（x）=x2+2（m+2）x-1
函数g（x）=，在区间（1，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=x2+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
则解得-＜m＜-2
∴m的取值范围为（-，-2）．