Question

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点P的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点．
（ I）求直线l的方程；
（ II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点A₁、B₁两点，求证：PA•PB=PA₁•PB₁；
（ III）过线段AB上任意一点P₁（不含端点A、B）分别做斜率为k₁、k₂（k₁≠k₂）的直线l₁，l₂，若l₁交抛物线C于A₁、B₁两点，l₂交抛物线C于A₂，B₂两点，且：P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂，试求k₁+k₂的值．

Answer

（Ⅰ）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（Ⅱ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可证明；
（Ⅲ）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．
【解析】
（Ⅰ）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
两式相减得，∴，∴kl×2=4，解得kl=2．
∴直线l的方程为y-1=，化为2x-y-4=0．
（Ⅱ）证明：①直线l的参数方程为，代入抛物线方程得，
化为，由参数的几何意义可得PA•PB=．
②由直线m的斜率为-2且过点P，可得参数方程为，代入抛物线方程得，
化为，由参数的几何意义可得PA1•PB1=．
因此PA•PB=PA1•PB1．
（Ⅲ）设点P1（u，v），直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，则k1=tanα，k2=tanβ，且．
则直线l1的参数方程为，代入抛物线方程得（v+tsinα）2=4（u+tcosα），
化为t2sin2α+（2vsinα-4cosα）t+v2-4u=0，
∵△＞0，∴t1t2==P1A1•P1B1
同理=P1A2•P1B2
∵P1A1•P1B1=P1A2•P1B2
∴sin2α=sin2β，∴sinα=sinβ，而α≠β，∴α=π-β．
∴k1+k2的值=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．