Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f（x）＞2．
（Ⅰ） 求证f（x）在R上是单调递增函数；
（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t²-t|）≤8；
（Ⅲ）若f（-2）=-4，且不等式f（t²+at-a）≥-7对任意t∈[-2，2]恒成立．求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）结合已知先构造x2-x1＞0，可得f（x2-x1）＞2，利用函数的单调性的定义作差f（x1）-f（x2）变形可证明
（Ⅱ）由f（1），及f（2）=f（1）+f（1）-2可求f（2），然后结合（I）中的函数的单调性可把已知不等式进行转化，解二次不等式即可
（Ⅲ）由f（-2）及已知可求f（-1），进而可求f（-3），由已知不等式及函数的单调性可转化原不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解
证明：（Ⅰ）∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞2f（x1）-f（x2）
=f（x1）-f（x2-x1+x1）
=f（x1）-f（x2-x1）-f（x1）+2
=2-f（x2-x1）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上是单调递增函数…（4分）
（Ⅱ）∵f（1）=5，
∴f（2）=f（1）+f（1）-2=8，
由f（|t2-t|）≤8得f（|t2-t|）≤f（2）
∵f（x）在R上是单调递增函数，所以…（8分）
（Ⅲ）由f（-2）=-4得-4=f（-2）=f（-1）+f（-1）-2⇒f（-1）=-1
所以f（-3）=f（-2）+f（-1）=-4-1-2=-7，
由f（t2+at-a）≥-7得f（t2+at-a）≥f（-3）
∵f（x）在R上是单调递增函数，
所以t2+at-a≥-3⇒t2+at-a+3≥0对任意t∈[-2，2]恒成立．
记g（t）=t2+at-a+3（-2≤t≤2）
只需gmin（t）≥0．对称轴
（1）当时，与a≥4矛盾．
此时a∈ϕ
（2）当时，，
又-4＜a＜4，所以-4＜a≤2
（3）当时，gmin（t）=g（2）=4+2a-a+3≥0⇒a≥-7
又a≤-4
∴-7≤a≤-4
综合上述得：a∈[-7，2]…（14分）