Question

设函数f（x）=lnx-px+1，其中p为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（1）先求定义域，在函数定义域内连续可导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点．
（2）要使f（x）≤0恒成立，只需求函数的最大值，而该函数的最大值就是极大值即可．
（3）先令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，从而有lnn2≤n2-1，再进行求和，利用放缩法，然后用立项求和的方法进行求和即可得证．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定义域为（0，+∞），
∴，
当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点
当p＞0时，令f'（x）=0，∴x=∈（0，+∞），f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点
（Ⅱ）当p＞0时，在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需，
∴p≥1
∴p的取值范围为[1，+∞）
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2
∴lnn2≤n2-1，
∴
∴==
=
∴结论成立