Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）证明1：先证明PD⊥平面ABC，在△PBC中，可得，，，从而BC2+PB2=PC2．
证明2：先证明PD⊥平面ABC，再证明BC⊥BD，BC⊥PD，从而可得BC⊥平面PBD．
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角，利用三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，可求AH的长，在Rt△PAD中，，可求AP的长，从而可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值；
解法2：过点D作DM∥AP，设DM∩PC=M，则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角，过点D作DN⊥PB于点N，连接MN，则可得∠DMN为直线DM与平面PBC所成的角，求出DN，DE的长，即可求得直线AP与平面PBC所成角的正弦值；
解法3：延长CB至点G，使得BG=BC，连接AG、PG，过点A作AK⊥PG于点K，可证∠APK为直线AP与平面PBC所成的角，计算AG，PG的长，可得直线AP与平面PBC所成角的正弦值为；
解法4：建立空间直角坐标系，确定，平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
（1）证明1：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（1分）
记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB=BC，所以BE⊥AC．
因为，AC=4，所以．…（3分）
因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．
因为，CD=3，
所以．…（4分）
连接BD，在Rt△BDE中，因为，DE=1，
所以．…（5分）
因为PD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD．
在Rt△PBD中，因为，，
所以．…（6分）
在△PBC中，因为，，，
所以BC2+PB2=PC2．
所以△PBC为直角三角形．…（7分）
证明2：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC．…（1分）
记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB=BC，所以BE⊥AC．
因为，AC=4，所以．…（3分）
连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90°，，DE=1，
所以．…（4分）
在△BCD中，因为CD=3，，，
所以BC2+BD2=CD2，所以BC⊥BD．…（5分）
因为PD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥PD．…（6分）
因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．
因为PB⊂平面PBD，所以BC⊥PB．
所以△PBC为直角三角形．…（7分）
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角．…（8分）
由（1）知，△ABC的面积．…（9分）
因为，所以=．…（10分）
由（1）知△PBC为直角三角形，，，
所以△PBC的面积．…（11分）
因为三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，即VA-PBC=VP-ABC，
即，所以．…（12分）
在Rt△PAD中，因为，AD=1，
所以．…（13分）
因为．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）
解法2：过点D作DM∥AP，设DM∩PC=M，则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．…（8分）
由（1）知BC⊥PD，BC⊥PB，且PD∩PB=P，所以BC⊥平面PBD．
因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．
过点D作DN⊥PB于点N，连接MN，则DN⊥平面PBC．
所以∠DMN为直线DM与平面PBC所成的角．…（10分）
在Rt△PAD中，因为，AD=1，
所以．…（11分）因为DM∥AP，所以，即，所以．…（12分）
由（1）知，，且，
所以．…（13分）
因为，
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）
解法3：延长CB至点G，使得BG=BC，连接AG、PG，…（8分）
在△PCG中，，所以∠CPG=90°，即CP⊥PG．
在△PAC中，因为，PA=2，AC=4，所以PA2+PC2=AC2，
所以CP⊥PA．
因为PA∩PG=P，所以CP⊥平面PAG．…（9分）
过点A作AK⊥PG于点K，
因为AK⊂平面PAG，所以CP⊥AK．
因为PG∩CP=P，所以AK⊥平面PCG．
所以∠APK为直线AP与平面PBC所成的角．…（11分）
由（1）知，BC⊥PB，所以．
在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，
所以．…（12分）
在△PAG中，PA=2，，，
所以PA2+AG2=PG2，即PA⊥AG．…（13分）
因为．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）
解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz，…（8分）
则A（0，-2，0），，C（0，2，0），．
于是，，．
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则
即
取y=1，则，．
所以平面PBC的一个法向量为．…（12分）
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，
则．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）