Question

如图，已知曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C₁，C₂分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

Answer

（1）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积，即可求得函数关系式S=f（t）；
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，对字母a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数f（x）在区间（0，1]上的最大值．
解析（1）由 解得或．
∴O（0，0），A（a，a2）．又由已知得B（t，-t2+2at），D（t，t2），
∴S=（-x2+2ax）dx-t×t2+（-t2+2at-t2）×（a-t）
=（-x3+ax2）|-t3+（-t2+at）×（a-t）=-t3+at2-t3+t3-2at2+a2t=t3-at2+a2t．
∴S=f（t）=t3-at2+a2t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=t2-2at+a2，令f′（t）=0，即t2-2at+a2=0．解得t=（2-）a或t=（2+）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+）a应舍去．
若（2-）a≥1，即a≥=时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a2-a+．
若（2-）a＜1，即1＜a＜时，当0＜t＜（2-）a时f′（t）＞0．当（2-）a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2-）a]上单调递增，在区间（（2-）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2-）a）=[（2-）a]3-a[（2-）a]2+a2（2-）a=a3．