Question

已知函数f（x）=x²+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，x²+lnx＜x³．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（2）构造函数g（x）=x3-x2-lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．
（1）【解析】
依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：设g（x）=x3-x2-lnx，
∴g′（x）=2x2-x-，
∵当x＞1时，g′（x）=＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=＞0，
∴当x＞1时，x2+lnx＜x3．