Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分）别为C₁D₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．

Answer

（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC从而得到线面垂直．
（Ⅱ）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，a，则有CD2=CE2+DE2，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，
∵EF，AO，
∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）