Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又数列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．
（I） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若a_i=b_j，则称a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共项．
①求出数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项；
②从数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，求剩下所有项的和．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，根据a3=5，且a5-2a2=3，求出基本量，从而可得数列{an}的通项公式；利用等比数列的通项公式可得{bn}的通项公式；
（II）①利用数列{an}，{bn}的通项公式，可得前4个公共项；
②确定数列{an}的前100项中包含4个公共项，利用等差数列的求和公式，可得结论．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，则
∵a3=5，且a5-2a2=3
∴a1+2d=5，-a1+2d=3
解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1；
∵3bn-bn+1=0，
∴=3，
∴数列{bn}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列．
∴bn=3×3n-1=3n；
（II）①数列{an}，{bn}的前4个公共项为3，9，27，81；
②∵a100=199，81＜a100＜243
∴数列{an}的前100项中包含4个公共项
∵=10000
∴数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980．