Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=
（1）若f（-1）=0且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？并说明理由．

Answer

（1）由f（-1）=0 可得a-b+1=0，由f（x）≥0恒成立，可得，联立方程可求a，b，进而可求f（x），F（x）
（2）由f（x）为偶函数，可得b=0，则有，不妨设m＞0，n＜0，从而可得|m|＞|-n|，代入F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-（an2+1）=a（m2-n2）＞0，即可
【解析】
（1）∵f（-1）=0∴a-b+1=0
又x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴    
∴b2-4（b-1）=0∴a=1，b=2
∴f（x）=x2+2x+1
∴
（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=ax2+1
∴
∵mn＜0设m＞n，则m＞0，n＜0
又m+n＞0
∴m＞-n＞0
∴|m|＞|-n|，
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-（an2+1）=a（m2-n2）＞0
∴F（m）+F（n）能大于零．