Question

g（x）=ax--2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=be--2（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：①f（x）≤x-1；②++…＜（n∈N，n≥2）．

Answer

（1）由题意及 可得结合可求a，b的关系
（2）由（1）知=，构造函数h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立即上恒成立，利用基本不等式可求得最大值，而得最大值
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0  （x＞0），设k（x）=lnx-x-1，由导数可判断x=1为k（x）的极大值点，而k（x）≤k（1）可证，
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，可得令x=n2，得，从而可得，利用该不等式放缩可证
【解析】
（1）由题意
∵   
∴
∴
∴
∵∴a=b
（2）由（1）知：由题意（x＞0）
=
令h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：
h（x）≥0恒成立．
即ax2-2x+a≥0
上恒成立
又0
所以a≥1
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0  （x＞0），
设k（x）=lnx-x-1，则．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，
∴k（x）≤k（1）=0．
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴
∵nn∈N*，n≥2，令x=n2，得
∴
∴
=
=
==