Question

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x，使得对于任意的实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对任意正整数n，有a_n=，b_n=f（）+1，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n与T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）利用赋值法，先令 x1=x2=0，再令x1=1，x2=0，代入已知恒等式即可；
（2）确定f（n）=2n-1，可求an，证明数列{bn}为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求得Tn；
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n，当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2），从而可得不等式组，即可求实数x的取值范围．
【解析】
（1）令x1=x2=0，得f（0）=f（x）+2f（0），∴f（x）=-f（0）①
令x1=1，x2=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x=1；
（2）由（1）可得 f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N*），
∴an=
∵f（1）=f（+）=f（）+f（）+f（1），
∴f（）=0，∴b1=f（）+1=1
∵
∴
∴
∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n
则F（n+1）-F（n）=＞0
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a3+a4=
∴
即
∴，解得或
故