Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于P点，若∠B₁PA₂为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由题意，∠B1PA2就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，-b）、=（-c，-b），由向量的夹角为钝角可得-ac+b2＜0，把b2=a2-c2代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围．
【解析】
由题意，∠B1PA2就是与的夹角，
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，-b）、=（-c，-b），
由向量的夹角为钝角知道与的数量积小于0，所以有：-ac+b2＜0，
把b2=a2-c2代入不等式得：a2-ac-c2＜0，除以a2得1-e-e2＜0，
即e2+e-1＞0，解得e＜或e＞，
又0＜e＜1，所以＜e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围为（，1）
故选D．