Question

已知函数f（x）=+n（m≠0）．
（I）若f（x）在x=1处取得极小值0，求实数m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（I）求函数的导数，利用f（x）在x=1处取得极小值0，求实数m，n的值；
（Ⅱ）求导数，利用导数研究函数的单调性．
【解析】
（I）函数的导数为f'（x）=mx2-x，若f（x）在x=1处取得极小值0，则f'（1）=m-1=0，解得m=1，
且f（1）=0．所以，所以由f（1）=0，解得n=．
（Ⅱ）因为函数的导数为f'（x）=mx2-x=x（mx-1）=，对应方程的两个根为0，．
若m＞0，则由f'（x）＞0，解得x或x＜0，此时函数单调递增．由f'（x）＜0，解得0＜x＜，此时函数单调递减．
若m＜0，则由f'（x）＞0，解得＜x＜0，此时函数单调递增．x＜0，由f'（x）＜0，解得x＞0或x＜，此时函数单调递减．
综上若m＞0，函数的增区间为（-∞，0）和（），单调减区间为（0，）．
若m＜0，函数的增区间为（，0）．单调减区间为（-∞，）和（0，+∞）．