Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'．求证：A'D⊥EF
（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A'-EFD的体积．

Answer

（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF⊂平面A'EF，得A'D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D-A'EF的高线，可以算出三棱锥D-A'EF的体积，即为三棱锥A'-DEF的体积．
【解析】
（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，
∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．
∴A'D⊥平面A'EF．
又∵EF⊂平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形
故折叠后A′D=2，A′E=A′F=，EF=
则cos∠EA′F==
则sin∠EA′F=
故△EA′F的面积S△EA′F=•A′E•A′F•sin∠EA′F=
由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥A'-EFD的体积V=××2=．