Question

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）

Answer

在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度；在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；设缉私船用t h在D处追上走私船，CD=10t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得缉私艇行驶方向，在△BCD中易判断BD=BC，由t=即可得到追缉时间．
【解析】
在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠CAB
=+22-2××2×（-）=6，
所以，BC=．
在△ABC中，由正弦定理，得=，
所以，sin∠ACB===．
又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB=15°．
设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，
则有CD=10t，BD=10t．
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD===．
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°，
所以180-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°，
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
在△BCD中，∴∠BCD=30°，∠CBD=90°+30°=120°，
∴∠CDB=30°，∴BD=BC=，
则t=，即缉私艇最快追上走私船所需时间h．