四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，，∠B...

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1， manfen5.com 满分网

，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

（I）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，再由△PAC的中位线，得到EO∥PA，结合PA⊥面ABCD，所以EO⊥面ABCD，从而AC⊥EO．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC⊥面BED；（II）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、E各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E-AB-C是锐二面角，得到二面角E-AB-C平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值．【解析】（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO， ∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD ∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点 ∴EO∥PA 又∵PA⊥面ABCD， ∴EO⊥面ABCD ∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO 又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线 ∴AC⊥面BED（6分）（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得 ∴（8分）设是平面ABE一个法向量由，解得，所以取x1=1，，，可得，因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设=（10分） ∴ 根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|= ∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为．（12分）

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考点分析：

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