Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）求通项a_n；
（2）设A=，证明：对任意m≥2，且m∈N^*，都有A．

Answer

（1）由于a1=1，an+1=，可得-=2n，用累加可得=2n-1，从而求得 an 的解析式．
（2）利用数列极限的运算法则求得A=3，而的通项公式 Tr+1≤，可得 ≤++++…+ 用放缩法、裂项法求得它小于3，
从而证得结论．
【解析】
（1）由于a1=1，an+1=，可得-=2n，
∴=1，，，，…，，
累加可得=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1，故有an=．
（2）A=====3，
而的通项公式为 Tr+1=•=•≤，
∴≤++++…+ 
≤1+1++++…+=1+1+（1-）+（-）+（-）+…+（-）
=1+1+（1-）＜3，
故对任意m≥2，且 m∈N*，都有A＞．