Question

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）试确定m、n的符号；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到m关于n的代数式．
（2）令f′（x）=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0，得x=0或x=2，易证x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点，
在讨论m的取值范围，根据[n，m]上的最大值，求出m的值．
【解析】
（I）由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，
知f'（2）=0，∴n=-3m①
又n＜m，故n＜0，m＞0．
（II）令f′（x）=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0，
得x=0或x=2
易证x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点（如图）．
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3．
分类：（I）当0＜m≤3时，f（x）max=f（0）=0，∴m-n2=0．②
由①，②解得，符合前提0＜m≤3．
（II）当m＞3时，f（x）max=f（m）=m4+m2n，
∴m4+m2n=m-n2．③
由①，③得m3-3m2+9m-1=0．
记g（m）=m3-3m2+9m-1，
∵g′（m）=3m2-6m+9=3（m-1）2+6＞0，
∴g（m）在R上是增函数，又m＞3，∴g（m）＞g（3）=26＞0，
∴g（m）=0在（3，+∞）上无实数根．综上，m的值为．