Question

若在抛物线y=x²上存在两点关于直线y=kx+1对称，求实数k的取值范围．

Answer

设出两点B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．
【解析】
设两点B、C关于直线y=kx+1对称，故可设直线BC方程为y=-x+m，代入y=x2，得 x2+x-m=0．
设B（x1，y1）、C（x2，y2），则 BC中点M（x，y），则x==-，y=+m．
∵点M（x，y）在直线y=kx+1上，
∴+m=k（-）+1，
∴m=-．
又∵BC与抛物线交于不同两点，∴△=+4m＞0．
把m代入得+4（-）＞0化简得 ＜2，解得k＜-或k＞．