Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

Answer

（1）由题意得，解得a，再结合a2=b2+c2，可求得b2，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆的方程与直线的方程y=kx联立，得（3+12k2）x2-12×3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1-3，y1），=（x2-3，y2），依题意，AF2⊥BF2，由•=0即可求得k的值．
【解析】
（1）由题意得，得a=2．  …（2分）
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．…（4分）
所以，椭圆的方程为+=1．        …（6分）
（2）由，得（3+12k2）x2-12×3=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=0，x1x2=-，…（10分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，…（12分）
因为=（x1-3，y1），=（x2-3，y2），
所以•=（x1-3）（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，
即+9=0，
解得k=±．…（15分）