Question

（理）已知以a为首项的数列{a_n}满足：
（1）若0＜a_n≤6，求证：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若（m∈N﹡），试求数列{a_n}的前4m+2项的和s_4m+2．

Answer

（1）分当an∈（0，3]时和当an∈（3，6]时，分别求出an+1的范围，得到要证的不等式．
（2）当a=1时，利用通项求出a2=2，a3=4，a4=1，得到满足题意的k=3t，t∈N*．同理可得，a取其他值时k的取值，
（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和．
【解析】
（1）当an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]，
当an∈（3，6]时，则an+1=an-3∈（0，3]，
故an+1∈（0，6]，
所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6．  …（5分）
（2）①当a=1时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k=3t，t∈N*．
同理可得，当a=2或4时，满足题意的k=3t，t∈N*．
当a=3或6时，满足题意的k=2t，t∈N*．
②当a=5时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k不存在．
③当a≥7时，由（1）知，满足题意的k不存在．
综上得：当a=1，2，4时，满足题意的k=3t，t∈N*；
当a=3，6时，满足题意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2m-1≥1，故，
当1＜k≤m时，．
故ak=2k-1a且am+1=2ma．又，-------（15分）
所以．
故S4m+2=S4（m+1）-a4m+3-a4m+4=4（a1+a2+•…+am+1）-（2m-1+2m）a
=4（1+2+…+2m）a-3×2m-1a=4（2m+1-1）a-3×2m-1a
=．    …（18分）