Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1时取得极大值，求实数a，b的值；
（2）在（1）条件下，求函数的最大值和单调递增区间；
（3）若函数f（x）图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意得：．解出并验证即可；
（2）利用（1）及其f′（x）＞0即可得出其单调递增区间，
（3）设点A（x1，y1），点B（x2，y2）是f（x）图象上两不同点，不妨设x1＜x2，则＜1，可化为f（x1）-x1＞f（x2）-x2．设g（x）=f （x）-x，则g（x）=-x3+ax2-x+b在R上单调递减．即g'（x）=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质即可得出．
【解析】
（1）f′（x）=-3x2+2ax，由题意得：．解得．
经验证f（x）在x=1时取得极大值．
∴．
（2）由（1）可知：f′（x）=-3x2+3x=-3x（x-1）．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．
f（x）无最大值．
（3）设点A（x1，y1），点B（x2，y2）是f（x）图象上两不同点，不妨设x1＜x2
则＜1，∴y1-y2＞x1-x2，即y1-x1＞y2-x2
即f（x1）-x1＞f（x2）-x2．
设g（x）=f （x）-x，则g（x）=-x3+ax2-x+b在R上单调递减．
∴g'（x）=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，
∴△=（2a）2-12≤0，解得．
∴实数a的取值范围为．