(1)由导数在这点的函数值等于在这点处的切线斜率即得.
(2)由恒成立的思想,化简后由a≥h(x)恒成立,只需要a≥h(x)max,从而证明之.
(3)由上一题的结论加以运用,即可证明.
【解析】
(I)
所以f′(1)=1,所以切线方程y=x-1
(Ⅱ)xf′(x)≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1,
即:xlnx≤x2+ax,x>0,则有lnx≤x+a,
即要使a≥lnx-x成立.
令g(x)=lnx-x,那么⇒x=1,
可知当0<x<1时单调增,当x>1时单调减.
故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1,
那么要使得a≥lnx-x 成立,则有a≥-1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0
当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0,
当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1
=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+-1)
=lnx-x(ln-+1)
≥0.
∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0
综上所述,(x-1)f(x)≥0