Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值；

（Ⅲ）若存在（是自然对数的底数）使，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）函数的减区间是,增区间是；

（Ⅱ）的最小值为；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出的导数，由的符号确定的单调区间；

（Ⅱ）求出的导数，由在上恒成立求得实数的最小值；（Ⅲ）注意左右两边的自变量是独立的.若存在使成立，则.故首先求出然后解不等式求实数的取值范围.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由得, 且,则函数的定义域为,

且,令,即,解得

当且时, ;当时,

函数的减区间是,增区间是                            4分

（Ⅱ）由题意得：函数在上是减函数，

在上恒成立，即在上恒成立

令，因此即可

当且仅当，即时取等号

因此，故的最小值为.                              8分

（Ⅲ）命题“若存在，使，”等价于

“当时，有”，

由（Ⅱ）得，当时，，则，

故问题等价于：“当时，有”，

,由（Ⅱ）知,

（1）当时，在上恒成立，因此在 上为减函数，则,故,

（2）当时，在上恒成立，因此在上为增函数，

则，不合题意

（3）当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即

由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；

所以，

所以，与矛盾，不合题意

综上，得.                                              12分

考点：1、导数及其应用；2、不等关系