Question

已知函数，，其中且．

(Ⅰ)当，求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)若时，函数有极值，求函数图象的对称中心坐标；

（Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

(Ⅰ) 单调增区间是，；(II) ;（III）

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 为确定函数的单调区间，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.

(Ⅱ) 为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.

本小题根据函数有极值，建立的方程，求得，从而得到.根据的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于对称，

得到函数的图象的对称中心坐标.

（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，通过讨论导函数为负数，得到的不等式，达到解题目的.

试题解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 当，，  1分

设，即，

所以，或，  2分

单调增区间是，；  4分

(Ⅱ)当时，函数有极值，

所以，  5分

且，即，  6分

所以，

的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于对称，  7分

所以的图象的对称中心坐标为；  8分

（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，

设，

，

，  9分

设，

当在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且．  10分

由（Ⅰ）知当时，的单调减区间是，

由得：，

解得：，  11分

当在上为减函数时，对于，即恒成立，

因为，

（1）当时，在上是增函数，在是减函数，

所以在上最大值为，

故，

即，或，故；  12分

（2）当时，在上是增函数，在是减函数，

所以在上最大值为，

故，则与题设矛盾；  13分

（3）当时，在上是减函数，

所以在上最大值为，

综上所述，符合条件的a满足．  14分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，不等式的解法.