Question

如图，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面， ，，为的中点，在棱上.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线平行、线线垂直、线面垂直、线面平行、面面垂直以及三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，在中，和都是中点，所以，利用面面垂直的判定可以判断平面平面，因为垂直2个面的交线，所以垂直平面，即平面，因为垂直和，所以利用线面垂直的判定得平面，所以面内的线；第二问，将所求三棱锥进行等体积转换，法一是利用，法二是利用，进行求解.

试题解析：（Ⅰ）连接，

为的中点，，

因为平面，平面，

所以平面平面，

且平面平面，，平面

所以平面，      4分

，又，平面，平面,

所以.       6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面,所以平面，

又平面，所以即为点与平面的距离，，而，      10分

      12分

解法二

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面,所以平面，

所以即为点与平面的距离

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考点：1.线面垂直的判定；2.线面平行的判定；3.面面垂直的判定；4.等体积法.