Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若时，函数在闭区间上的最大值为，求的取值范围.

Answer

（1）单调增区间分别为，，单调减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式的基础知识，考查分类讨论思想，考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，当时，函数解析式中没有参数，直接求导，令导数大于0和小于0，分别解出函数的单调增区间和单调减区间；第二问，因为的两个根是和1，所以需要讨论和1的大小，分3种情况进行讨论，分别列表判断函数的单调性、极值、最值，求出函数在闭区间上的最大值判断是否等于，求出的取值范围.

试题解析：     2分

（1）当时，

当或时，,

当，，

所以的单调增区间分别为，，      5分

的单调减区间为.

（2）（Ⅰ）当时，，在 上单调递增，最大值为

（Ⅱ）当时，列表如下：

x

0

(0,a)

a

(a,1)

1

(1,1+a)

a+1

f/(x)

+

0

-

0

+

f(x)

增

极大值f(a)

减

增

由表知在上的最大值，只有可能是或

所以只需

解得，此时.

（Ⅲ）当时，列表如下：

x

0

(0,1)

1

(1 ,a)

a

(a,1+a)

a+1

f/(x)

+

0

-

0

+

f(x)

增

极大值f(1)

减

增

由表知在上的最大值，只有可能是或

所以只需

解得，此时.      11分

由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得，

所以满足条件的的取值范围是.       12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值和最值；3.作差法比较大小.