Question

已知函数，

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）先把带入函数解析式，再对函数求导，然后求在已知点的切线的斜率和已知点的坐标，再由点斜式求切线方程；（II）法1：先求函数的导函数，得导函数为0时的根值，讨论根值在区间的内外情况，判断原函数在区间的单调性，从而让原函数在区间上的最小值小于0，解得的取值范围.法2：把利用分离变量法分离，构造新的函数，利用导数求新函数在区间上的最小值，让小于最小值就是的取值范围．

试题解析：（I）当时，，，           2分

曲线在点 处的切线斜率，

所以曲线在点处的切线方程为．      6分

（II）解1：    7分

当，即时，，在上为增函数，

故，所以， ，这与矛盾   9分

当，即时，

若，；若，，

所以时，取最小值，因此有，即，

解得，这与矛盾；                              12分

当即时，，在上为减函数，所以

，所以，解得，这符合．

综上所述，的取值范围为．                               15分

解2：有已知得：，                          8分

设，，                    10分

，，所以在上是减函数．         12分

，故的取值范围为                     15分

考点：1、利用导函数求切线方程；2、导函数的性质；3、分离变量法.