Question

如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、．

（1）求圆和圆的方程；

（2）过点作的平行线，求直线被圆截得的弦的长度；

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）圆M与圆N的圆心都在的平分线上，并且两圆都与x轴相切，所以半径等于圆心的纵坐标，所以圆M的方程即可求出，利用相似可求出N点的坐标.（2）通过计算弦心距，再利用圆中的重要三角形，解出半弦长从而求得弦长.

试题解析：（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在的角平分线上，同理，也在的角平分线上，

即三点共线，且为的角平分线，

的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，

圆的方程为；

设圆的半径为，由，得：,

即，，圆的方程为：；

（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，

此弦所在直线方程为，即，

圆心到该直线的距离，

则弦长=

考点：1.求圆的标准方程.2.直线与圆相切，圆与圆相切.3.圆中的重要三角形.4.点到直线的距离.